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研究初中数学教学必定研究效率问题，笔者近来与几位数学教师就学生知识掌握，技能形成进行了一番讨论，遂成文。
一、反馈与矫正的一般原则
反馈是控制论的一种重要基本原理。它是指控制系统把信息输送出去，然后把其作用的结果返回来，并对信息的再输出发生影响，起到控制作用。通过反馈，可以不断地矫正偏向和失误，逐步达到预期的目的。一般说来，反馈与矫正有如下几条原则。
（一）适时反馈，及时矫正
在教学视导过程中，发现有两种不正常现象：一种是备课。教师根据主观意识，提前几天或几个星期备课，个别的教师甚至将纸张发黄的陈旧教案拿到课堂上照本宣科，不考虑学生现有知识基础和学习中出现的新情况，结果怎样呢？本来学生已经掌握的内容教师在津津乐道，而学生难于理解掌握的内容却蜻蜒点水，甚至根本没有涉及，教师陶醉于少数优生“热热闹闹”的发言，而多数学生一知半解。另一种是作业。有些教师要求学生数学作业本必须有四个，这样一来，学生做的练习最快也只能在三天后见到，有时一个星期后才见到，甚至一个单元的测试卷半个月或一个月后才与学生见面。这样反馈来的问题再不是一两个，而是一大堆，此时，师生双方都感到矫正无从下手。学生学习中出现的问题，教师若能及时发现，及时设法解决，就不会出现这种现象。
反馈与矫正要落到实处，就必须切实抓好当堂了解、当堂消化、节节夯实、层层达标、分步到位。也就是说反馈要适时，矫正要及时。
（二）真实反馈，准确矫正
反馈来的信息是否真实，矫正的方法是否得力对反馈与矫正的效果起关键性作用。如果信息虚假或不全真实，那么教师就发现不了问题或不能全面地了解情况，也就不会采取及时、正确的矫正措施。教学实践表明，要做到真实反馈，准确矫正，一般要注意以下三个方面。
首先，培养学生勤学好问、独立思考的优良学习习惯。有经验的教师都注意引导学生上课集中精力，勤于思考，积极动口、动手。这样学生提供的信息才是深层次的而不是表面的，是全面的而不是片面的，是真实的而不是虚假的。
其次，建立民主、平等的师生关系。在教学中教师必须注意克服师道尊严的作风，经常深入到学生中去了解他们的困难和要求，积极热情地帮他们释疑解难，使他们体会到师长的温暖，尝试到因积极与老师配合、真实地提供信息而取得学习进步的甜头。
再次，透过现象，抓住本质。教师在获取信息后，应认真分析其问题的实质，产生问题的原因，然后有针对性地设计矫正方案。不要被表面现象所迷惑，就题论题，就事论事，否则矫正就是低效的或无效的。
（三）主动反馈，自觉矫正
反馈与矫正有良性与恶性两类。反馈与矫正在教学中总是循环往复的，即反馈—矫正—再反馈—再矫正。良性的反馈与矫正不论从知识、技能、智力、习惯、情感的哪一方面来看，都是一种在不断地解决老问题、提出新问题的过程中，由低层次向高层次前进的教学活动；而恶性的反馈与矫正则是问题不断重复堆积的微效或无效的教学活动。
要避免恶性循环，师生双方必须做到主动反馈，自觉矫正。因为反馈来的信息往往是教和学两个方面的问题，属于教的问题，教师应注意主动地去发现和收集，及时自觉矫正或调控，不能等待。属于学的问题，教师要主动辅导，及时令其矫正。再说，学生的主动性和自觉性必须靠教师有意识地培养，光有教师的主动性，而没有学生的自觉配合，其结果仍然是恶性的反馈与矫正。当然，如果教师只强调学生的主动和自觉，而不注意自身的主动和自觉，结果同样会是恶性的反馈与矫正。
（四）矫正反馈，反馈矫正
反馈与矫正是紧密联系的一个体系。矫正首先是为了解决问题，在解决问题的过程中，往往会发现信息不真，这时应对反馈进行矫正。如果不注意这种矫正，那么矫正也就不准。
对一个问题进行矫正之后，是否就真正解决了问题，还需进行再反溃在教学视导过程中，发现有的教师常这样埋怨学生：“这种问题我已对你讲过多次了，怎么还不知道。”出现这种现象有两个原因：或是当时的矫正走了过场，没有真正解决问题，或是隔了一段时间后没有再去矫正，使矫正效果消失了。因此，矫正后相应地要设计巩固提高的反馈方案，检测矫正效果，获取新的信息，在更高层次上施以反馈矫正。
二、反馈渠道与途径
常规教学过程的备课、教学、批改、辅导、考试、评价就是教学反馈的主渠道，一般来说，反馈渠道与途径有以下几个方面：
（一）备课时充分估计
经验丰富的教师在备课时能预测到学生在课堂上对知识的理解、技能的掌握、方法的运用所出现的问题，并有针对性地设计教法。把问题解决在初发阶段，这样教师的主导作用就能得到较好的发挥。缺乏经验的教师往往做不到这一点，那么就应在教学实践中勤于观察与思考，逐步学会站在学生立场上思考问题，设计教案。
（二）上课中勤于捕捉
上课是获取信息的主渠道。教师仅凭过去的经验或主观愿望去估计是不行的，必须在课堂上认真观察学生反应，及时调整教法。有的教师讲授时不注意观察学生的神态，也不去听取学生的反映，等到批改作业或阅卷时才发现问题一大难，这样就不利于及时反馈与矫正。
（三）板演时注意收集
板演是学生暴露思维过程的重要渠道。对学生板演中暴露出来的错误，教师不仅要指出其错误所在，还要正确分析产生各种错误的原因，指出应该怎样纠正错误，并在下次板演或作业中有意安排类似的练习，让学生及时矫正。
（四）答问中随机提炼
学生在回答教师提问时，很容易暴露思维过程中的错误，或概念理解错误，或定理法则运用条件不足，或思维方法不对等。教师既要善于鼓励学生积极思考问题和敢于提问，又要善于根据不同层次的学生回答问题的不同角度，随机提炼出反映问题本质的一般性和特殊性问题，使矫正有的放矢。
（五）作业里逐一分析
作业是教学反馈的主渠道，但教师须对不同的学生进行认真的分析，学生的作业一般来说有四种类型：1、独立完成的；2、讨论后完成的；3、独立完成一部分，抄袭一部分；4、全部是抄的。教师对抄袭来的整洁、正确的作业切不可感到满足，这种潜伏期一旦长了，差生面就越来越大，差的程度就越来越严重。
因此，对不同的学生、不同的问题应逐一分析，做好作业档案记载，以便做到有效反溃。
（六）阅卷中仔细归类
在考风正的前提下，每次单元测验或期中、期末考试试卷中都会暴露出大量的问题。问题越多，我们就越要注意归类，切不可眉毛胡子一把抓。整理归类得当就能力矫正工作提供可靠的依据。
（七）讲课后及时小结
讲课后小结并非被大多数教师所重视，其实讲课后立即回顾本堂课的成功之处和值得改进的地方，以及学生中出现的主要问题和产生这些问题的原因，及时分析应采取的矫正措施，并简明地记在本节课教案后面，这样既可作为下节课的矫正内容，又可作为下一次再教时的重要参考资料。若能长期坚持，注意积累和整理，便是切合实际的难得的教学经验。
（八）复习时注意强化
成功的复习，一般是在一个单元的基础知识、基本技能、基本思想方法梳理之后，结合该单元教学中收集到的学生易混易错问题的基础上，加以提炼，择例精讲，从不同的角度、不同的侧面、不同的题型予以强化矫正。
三、矫正类型与方法
要使教学矫正效果好，必须准确诊断学生在学习中出现的问题，然后对症下药。经过实践，归纳起来大体有如下几种矫正类型与方法。
（一）少数人的问题个别矫正，群体性的问题集中矫正
在作业批改和试卷评阅过程中，要认真做好学生在每章每节练习或检测中所出现的问题的记载，然后看哪些问题属少数人的，哪些问题属群体性的。属少数人的问题不能集中矫正，只能利用课余时间或自习时间个别矫正，属群体性问题要舍得花时间，集中在课堂上矫正，否则就会大面积影响或阻碍后继内容的学习。
（二）简单问题立即矫正，复杂问题专题矫正
在课堂教学中，教师观察问题要敏锐，对学生回答的问题和黑板上板演出现的问题要反应敏捷，快速作出判断，哪些问题属简单问题，哪些问题属复杂问题，属简单问题就立即当面矫正，属复杂问题就专题矫正。如果当即矫正有困难，就选择合适的时机矫正，既不能敷衍了事，也不能因解决某个复杂问题，冲淡了主题，更不能时机未成熟硬性解决。
（三）关键性问题重点矫正，一般性问题自我矫正
例如列方程解应用题，对于不同类型的实际应用问题，根据题意找等量关系就属关键性问题。？如若这一问题解决得好，？其它问题便迎刃而解。因此，若找“等量关系”出了问题，就必须把它放在突出的位置加以矫正，至于设未知数、解方程就属于一般性问题，教师可启发学生自我矫正。
（四）概念性问题对照矫正，技能性问题逐步矫正
应用概念出问题，这在日常教学中是普遍的，特别是学生在运用相近、易混的概念时，常犯张冠李戴的错误。如在使用“补角”、“邻补角”等概念时常易出错，这时就应对照概念，引导学生反复比较，找出各自的本质属性以及异同点，然后对照练习。至于这两个概念在解有关几何题中准确熟练运用的问题，则属技能性问题，这要逐步矫正。
（五）预料中的问题设计矫正，出乎意料的问题灵活矫正。
教师备课时应根据学生的具体情况和教科书的内容，以及教师自身的经验充分预料每章每节教学可能遇到的问题，在此基础上设计好重难点知识。对于课堂上出现的意料之外的问题，则要具体问题，具体分析，灵活矫正。
（六）经常出现的问题变式矫正，偶然出现的问题重视矫正
有些错误一两次矫正不能生效，甚至采用同一种方式矫正，学生还有厌烦情绪。一般来说，对于那些经常出现差错的问题，教师应遇到机会就要进行矫正，要反复矫正，更重要的是变换形式矫正。同时，教学中还不能放过任何一个学生所偶然出现的任何一个问题。这样，反馈矫正才能真正得到落实。
（七）习惯问题耐心矫正，思想问题引导矫正
好的学习习惯是终身受用不尽的，坏的学习习惯是一个人学习进步的最大障碍。如果一些学生因习惯不良，造成不该出错而错了的问题。例如，明知计算不准，解方程组又不验算，画图不用尺规，随手画等等，教师就不能只将答案改正过来，而应耐心细致地帮助他们矫正学习习惯。如果是思想上出了毛病，导致在学习上出现各种各样的问题，那么教师不能就事论事，应该是动之以情，晓之以理，去引导学生端正学习态度，树立正确的人生观。
（八）基础问题分步矫正，智力问题量力矫正
中差生或多或少存在一些基础问题，不同的学生又有不同的基础问题。因此，要认真分析，分步矫正。一个班几十名学生的智力差异一般也有几十种，不过差异有大小之分。既然智力有差异，理解有深浅，运用有生熟，那么教师在矫正时，就应量力而施，不能一刀切。要特别注意的是，不要误把智力问题看作是思想问题，如果误作思想问题，老是批评指责，不但矫而不正，反而会使学生产生厌学情绪，丧失信心，这样就适得其反。